Урок 5. ЗАВИСИМОСТЬ МАССЫ ОТ СКОРОСТИ. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА

     С новыми пространственно-временными представлениями не согласуются при больших скоростях движения законы механики Ньютона. Лишь при малых скоростях движения, когда справедливы классические представления о пространстве и времени, второй закон Ньютона 

   (2.4) 

не меняет своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (выполняется принцип относительности).

     Но при больших скоростях движения этот закон в своей обычной (классической) форме несправедлив.

     Согласно второму закону Ньютона (2.4) постоянная сила, действующая на тело продолжительное время, может сообщить телу сколь угодно большую скорость. Но в действительности скорость света в вакууме является предельной, и ни при каких условиях тело не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Требуется совсем небольшое изменение уравнения движения тел, чтобы это уравнение было верным при больших скоростях движения. Предварительно перейдем к той форме записи второго закона динамики, которой пользовался сам Ньютон:

   (2.5)

где — импульс тела. В этом уравнении масса тела считалась независимой от скорости.

     Поразительно, что и при больших скоростях движения уравнение (2.5) не меняет своей формы.

     Изменения касаются лишь массы. При увеличении скорости тела его масса не остается постоянной, а растет.

     Зависимость массы от скорости можно найти, исходя из предположения, что закон сохранения импульса справедлив и при новых представлениях о пространстве и времени. Расчеты слишком сложны. Приведем лишь конечный результат.

     Если через m₀ обозначить массу покоящегося тела, то масса m того же тела, но двигающегося со скоростью , определяется формулой

   (2.6)

     На рисунке 43 представлена зависимость массы тела от его скорости. Из рисунка видно, что возрастание массы тем больше, чем ближе скорость движения тела к скорости света с.

Рис. 43

     При скоростях движения, много меньших скорости света, выражение чрезвычайно мало отличается от единицы. Так, при скорости современней космической ракеты u»10 км/с получаем =0,99999999944.

     Неудивительно поэтому, что заметить увеличение массы с ростом скорости при таких сравнительно небольших скоростях движения невозможно. Но элементарные частицы в современных ускорителях заряженных частиц достигают огромных скоростей. Если скорость частицы всего лишь на 90 км/с меньше скорости света, то ее масса увеличивается в 40 раз. Мощные ускорители для электронов способны разгонять эти частицы до скоростей, которые меньше скорости света лишь на 35—50 м/с. При этом масса электрона возрастает примерно в 2000 раз. Чтобы такой электрон удерживался на круговой орбите, на него со стороны магнитного поля должна действовать сила, в 2000 раз большая, чем можно было бы предполагать, не учитывая зависимости массы от скорости. Для расчета траекторий быстрых частиц пользоваться механикой Ньютона уже нельзя.

     С учетом соотношения (2.6) импульс тела равен:

   (2.7)

     Основной же закон релятивистской динамики записывается в прежней форме:

   (2.8)

     Однако импульс тела, здесь определяется формулой (2.7), а не просто произведением .

     Таким образом, масса, считавшаяся со времен Ньютона неизменной, в действительности зависит от скорости.

     По мере увеличения скорости движения масса тела, определяющая его инертные свойства, увеличивается. При u®с масса тела в соответствии с уравнением (2.6) возрастает неограниченно (m®¥); поэтому ускорение стремится к нулю и скорость практически перестает возрастать, как бы долго ни действовала сила.

     Необходимость пользоваться релятивистским уравнением движения при расчете ускорителей заряженных частиц означает, что теория относительности в наше время стала инженерной наукой.

     Законы механики Ньютона можно рассматривать как частный случай релятивистской механики, справедливый при скоростях движения тел, много меньших скорости света.

Релятивистское уравнение движения, учитывающее зависимость массы от скорости, применяется при конструировании ускорителей элементарных частиц и других релятивистских приборов.

?  1. Запишите формулу зависимости массы тела от скорости его движения. 2. При каком условии можно массу тела считать не зависящей от скорости?